PS29 – Lösen von Problemen mit Diophant

Der Kurs beginnt mit der mathematischen Theorie linearer diophantischer Gleichungen. Der Mathematiklehrer ruft grundlegende Kenntnisse der Zahlentheorie (aus der 5. Klasse) in Erinnerung – Teilbarkeitsregeln und den euklidischen Algorithmus zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers (ggt) zweier positiver ganzer Zahlen. Der Mathematiklehrer kann mit der Einführung des neuen Stoffs beginnen, indem er den Schülern ein einfaches Problem aus dem Alltag vorlegt, das durch eine lineare, nicht-homogene diophantische Gleichung mit zwei Variablen modelliert werden kann. Der Lehrer leitet die Schüler dabei an, das Modell zu erstellen und die Lösungen für die erhaltene Gleichung zu finden. Die Schüler wenden Teilbarkeitsregeln an, um die Gleichung zu lösen. Anschließend führt der Mathematiklehrer die Schüler in den Begriff “diophantische Gleichung” ein, insbesondere in lineare diophantische Gleichungen mit zwei Variablen (ax + by = c), und hebt die Unterschiede zwischen einer linearen Gleichung mit einer Variablen und einer undefinierten mehrvariablen Gleichung hervor. Der Mathematiklehrer führt die Schüler in grundlegende Methoden zur Lösung linearer, inhomogener diophantischer Gleichungen ein: unter Verwendung von Teilbarkeitsregeln, unter Verwendung des erweiterten euklidischen Algorithmus zur Ermittlung einer speziellen Lösung und anschließender Herleitung der Formeln für die allgemeine Lösung sowie mittels der Eulerschen Substitutionsmethode. Er bespricht mit den Schülern die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass eine solche Gleichung ganzzahlige Lösungen hat, die Anzahl der ganzzahligen Lösungen sowie die Anzahl der Lösungen unter den natürlichen Zahlen (unter der Einschränkung, dass die Variablen durch lineare Ungleichungen ausgedrückt werden). Der Mathematiklehrer zeigt außerdem, wie man eine lineare diophantische Gleichung mit mehr als zwei Variablen löst. Der Mathematiklehrer führt die Schüler zudem in das Frobenius-Münzproblem und dessen Verallgemeinerungen ein. Für fortgeschrittenere und neugierige Schüler kann der Mathematiklehrer den Zusammenhang zwischen linearen diophantischen Gleichungen und Kongruenzen erläutern, d. h., wie eine solche Gleichung in Form einer linearen Kongruenz ausgedrückt werden kann. Der Mathematiklehrer kann zudem erklären, wie lineare diophantische Gleichungen auf einfache Probleme der Kryptografie angewendet werden können.

Als Nächstes führt der IT-Lehrer die Schüler in die Methoden ein, mit denen lineare, inhomogene Diophantische Gleichungen in Excel gelöst werden können. Der Chemielehrer erklärt den Schülerinnen und Schülern, wie man eine chemische Gleichung ausgleicht, die eine chemische Reaktion ausdrückt, und erklärt zusammen mit dem Mathematiklehrer, wie man lineare, inhomogene Diophantische Gleichungen zum Ausgleichen einer chemischen Gleichung anwendet.

Der Physik- (Technik-)Lehrer führt die Schüler in Netzwerke und Netzwerkflüsse ein. Optional kann die Schulverwaltung einen (Netzwerk-)Ingenieur einladen, um den Schülern Netzwerke und Probleme im Zusammenhang mit Netzwerkflüssen vorzustellen. Der Mathematiklehrer und der Physiklehrer erklären den Schülern, wie lineare diophantische Gleichungen zur Modellierung eines Flusses in einem Netzwerk verwendet werden können. Der Entrepreneurship-Lehrer stellt den Schülern Geschäftsprobleme vor, die mit linearen inhomogenen diophantischen Gleichungen modelliert werden können. Die Schüler können die erhaltenen Gleichungen entweder von Hand mit den Methoden aus dem Mathematikunterricht oder in einer Tabellenkalkulationssoftware lösen.

Die Arbeit zu diesem Thema dauert 10 Stunden.