PS29-Problemen oplossen met Diophantus-NL

De cursus begint met de wiskundige theorie van lineaire Diofantische vergelijkingen. De wiskundeleraar herhaalt de basisbegrippen uit de getaltheorie (uit groep 5) – de deelbaarheidsregels en het algoritme van Euclides voor het vinden van het grootste gemeenschappelijke deler (gcd) van twee positieve gehele getallen. De wiskundeleraar kan de nieuwe leerstof introduceren door de leerlingen een eenvoudig probleem uit het dagelijks leven voor te leggen dat gemodelleerd kan worden met een lineaire, niet-homogene Diofantische vergelijking met twee variabelen. De leraar begeleidt de leerlingen bij het opstellen van het model en het vinden van de oplossingen voor de verkregen vergelijking. De leerlingen gebruiken deelbaarheidsregels om de vergelijking op te lossen. Vervolgens laat de wiskundeleraar de leerlingen kennismaken met de term “Diofantische vergelijking”, in het bijzonder met lineaire Diofantische vergelijkingen met twee variabelen (ax + by = c), en benadrukt hij de verschillen tussen een lineaire vergelijking met één variabele en een ongedefinieerde vergelijking met meerdere variabelen. De wiskundeleraar laat de leerlingen kennismaken met basismethoden voor het oplossen van lineaire, niet-homogene Diofantische vergelijkingen: door gebruik te maken van deelbaarheidsregels, door gebruik te maken van het uitgebreide Euclidische algoritme om een specifieke oplossing te vinden en vervolgens de formules voor de algemene oplossing op te schrijven, en door de substitutiemethode van Euler. Bespreekt met de leerlingen de noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor het bestaan van gehele oplossingen voor een dergelijke vergelijking, het aantal gehele oplossingen en het aantal oplossingen in de natuurlijke getallen (beperkingen op de variabelen uitgedrukt door lineaire ongelijkheden). De wiskundeleraar laat ook zien hoe een lineaire Diofantische vergelijking met meer dan twee variabelen moet worden opgelost. De wiskundeleraar laat de leerlingen ook kennismaken met het Frobenius-muntprobleem en de veralgemening daarvan. Aan de meer gevorderde en nieuwsgierige leerlingen kan de wiskundeleraar het verband uitleggen tussen lineaire Diofantische vergelijkingen en congruenties, d.w.z. hoe een dergelijke vergelijking kan worden uitgedrukt in de vorm van een lineaire congruentie. De wiskundeleraar kan ook uitleggen hoe lineaire Diofantische vergelijkingen kunnen worden toegepast op eenvoudige problemen in de cryptografie.

Vervolgens introduceert de IT-docent de leerlingen in de methoden die kunnen worden gebruikt voor het oplossen van lineaire niet-homogene Diophantische vergelijkingen in Excel. De scheikundedocent legt de leerlingen uit hoe ze een chemische vergelijking die een chemische reactie uitdrukt, kunnen balanceren, en legt samen met de wiskundedocent uit hoe ze lineaire niet-homogene Diophantische vergelijkingen kunnen toepassen voor het balanceren van een chemische vergelijking.

De docent natuurkunde (techniek) introduceert de leerlingen in netwerken en netwerkstromen. Optioneel kan de schoolleiding een (netwerk)ingenieur uitnodigen om de leerlingen kennis te laten maken met netwerken en problemen met betrekking tot netwerkstromen. De wiskundedocent en de natuurkundedocent leggen de leerlingen uit hoe lineaire diophantische vergelijkingen kunnen worden gebruikt voor het modelleren van een stroom in een netwerk. De docent ondernemerschap legt de leerlingen bedrijfskundige problemen voor die kunnen worden gemodelleerd met lineaire niet-homogene diophantische vergelijkingen. De leerlingen kunnen de verkregen vergelijkingen oplossen met de hand volgens de methoden van de wiskundelessen, of in spreadsheetsoftware.

Het werk aan het onderwerp duurt 10 uur.