PS29-Résolution de problèmes avec Diophante-FR

Le cours commence par la théorie mathématique des équations diophantiennes linéaires. Le professeur de mathématiques rappelle les notions fondamentales de la théorie des nombres (acquises en CM2) : les règles de divisibilité et l’algorithme d’Euclide permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers positifs. Le professeur de mathématiques peut commencer à introduire cette nouvelle matière en posant aux élèves un problème simple tiré de la vie quotidienne, qui peut être modélisé par une équation diophantienne linéaire non homogène à deux variables. Il guide les élèves dans la création du modèle et la recherche des solutions de l’équation obtenue. Les élèves utilisent les règles de divisibilité pour résoudre l’équation. Ensuite, le professeur de mathématiques présente aux élèves le terme “ équation diophantienne ”, en particulier les équations diophantiennes linéaires à deux variables (ax + by = c), et souligne les différences entre une équation linéaire à une variable et une équation à plusieurs variables non définie. Le professeur de mathématiques présente aux élèves les méthodes de base pour résoudre des équations diophantiennes linéaires non homogènes : en utilisant les règles de divisibilité, en recourant à l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver une solution particulière puis en écrivant les formules de la solution générale, et en utilisant la méthode de substitution d'Euler. Il discute avec les élèves de la condition nécessaire et suffisante pour qu’une telle équation ait des solutions entières, du nombre de solutions entières et du nombre de solutions parmi les nombres naturels (en imposant des contraintes sur les variables exprimées par des inégalités linéaires). Le professeur de mathématiques montre également comment résoudre une équation diophantienne linéaire à plus de deux variables. Il présente aussi aux élèves le problème des pièces de monnaie de Frobenius et ses généralisations. Aux élèves les plus avancés et les plus curieux, le professeur de mathématiques peut expliquer la relation entre les équations diophantiennes linéaires et les congruences, c'est-à-dire comment une telle équation peut être exprimée sous la forme d'une congruence linéaire. Le professeur de mathématiques peut également expliquer comment les équations diophantiennes linéaires peuvent être appliquées à des problèmes simples de cryptographie.

Ensuite, le professeur d'informatique présente aux élèves les méthodes qui peuvent être utilisées pour résoudre des équations diophantiennes linéaires non homogènes dans Excel. Le professeur de chimie explique aux élèves comment équilibrer une équation chimique qui exprime une réaction chimique, et avec le professeur de mathématiques, il explique comment appliquer des équations diophantiennes linéaires non homogènes pour équilibrer une équation chimique.

Le professeur de physique (ingénierie) présente aux élèves les réseaux et les flux sur réseau. En option, l'administration de l'école peut inviter un ingénieur (en réseaux) pour présenter aux élèves les réseaux et les problèmes liés aux flux sur réseau. Le professeur de mathématiques et le professeur de physique expliquent aux élèves comment les équations diophantiennes linéaires peuvent être utilisées pour modéliser un flux dans un réseau. Le professeur d'entrepreneuriat propose aux élèves des problèmes d'entreprise qui peuvent être modélisés par des équations diophantiennes linéaires non homogènes. Les élèves peuvent résoudre les équations obtenues soit à la main en utilisant les méthodes des cours de mathématiques, soit dans un logiciel de tableur.

Le travail sur le sujet dure 10 heures.