PS29-Resolução de Problemas com Diofanto-PT

O curso começa com a teoria matemática das equações diofantinas lineares. O professor de matemática relembra a teoria básica dos números (do 5.º ano) – as regras de divisibilidade e o algoritmo de Euclides para determinar o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros positivos. O professor de matemática pode começar a introduzir o novo conteúdo colocando aos alunos um problema simples da vida quotidiana que possa ser modelado por uma equação diofantina linear não homogénea de duas variáveis. O professor orienta os alunos na criação do modelo e na determinação das soluções da equação obtida. Os alunos utilizam as regras de divisibilidade para resolver a equação. Em seguida, o professor de matemática apresenta aos alunos o termo “equação diofantina”, em particular as equações diofantinas lineares de duas variáveis (ax + by = c), e sublinha as diferenças entre uma equação linear de uma variável e uma equação multivariável indefinida. O professor de matemática apresenta aos alunos os métodos básicos para resolver equações diofantinas lineares não homogéneas: utilizando regras de divisibilidade, utilizando o algoritmo euclidiano alargado para encontrar uma solução particular e, em seguida, escrevendo as fórmulas para a solução geral, e através do método de substituição de Euler. Discute com os alunos a condição necessária e suficiente para que uma equação deste tipo tenha soluções inteiras, o número de soluções inteiras e o número de soluções em números naturais (restrições às variáveis expressas por desigualdades lineares). O professor de matemática mostra também como resolver uma equação diofantina linear com mais de duas variáveis. O professor de matemática apresenta ainda aos alunos o problema das moedas de Frobenius e as suas generalizações. Aos alunos mais avançados e curiosos, o professor de matemática pode explicar a relação entre equações diofantinas lineares e congruências, ou seja, como uma equação deste tipo pode ser expressa na forma de uma congruência linear. O professor de matemática pode ainda explicar como as equações diofantinas lineares podem ser aplicadas a problemas simples de criptografia.

De seguida, o professor de TIC apresenta aos alunos os métodos que podem ser utilizados para resolver equações diofantinas lineares não homogéneas no Excel. O professor de química explica aos alunos como acertar uma equação química que exprime uma reação química e, juntamente com o professor de matemática, explica como aplicar equações diofantinas lineares não homogéneas para acertar uma equação química.

O professor de física (engenharia) apresenta aos alunos as redes e os fluxos em rede. Opcionalmente, a administração escolar pode convidar um engenheiro (de redes) para apresentar aos alunos as redes e os problemas que envolvem o fluxo em rede. O professor de matemática e o professor de física explicam aos alunos como as equações diofantinas lineares podem ser utilizadas para modelar um fluxo numa rede. O professor de empreendedorismo coloca aos alunos problemas de negócios que podem ser modelados com equações diofantinas lineares não homogéneas. Os alunos podem resolver as equações obtidas manualmente, utilizando os métodos das aulas de matemática, ou num programa de folha de cálculo.

O trabalho sobre o tema tem a duração de 10 horas.