PS29 – Rozwiązywanie problemów z Diosem

Kurs rozpoczyna się od matematycznej teorii równań diofantycznych liniowych. Nauczyciel matematyki przypomina uczniom podstawy teorii liczb (z klasy piątej) – reguły podzielności oraz algorytm Euklidesa służący do obliczania największego wspólnego dzielnika (nwvd) dwóch dodatnich liczb całkowitych. Nauczyciel matematyki może rozpocząć wprowadzanie nowego materiału od przedstawienia uczniom prostego problemu z życia codziennego, który można zamodelować za pomocą liniowego, niejednorodnego równania diofantycznego o dwóch zmiennych. Nauczyciel pomaga uczniom w stworzeniu modelu i znalezieniu rozwiązań dla uzyskanego równania. Uczniowie wykorzystują reguły podzielności do rozwiązania równania. Następnie nauczyciel matematyki zapoznaje uczniów z pojęciem “równania diofantycznego”, a w szczególności z liniowymi równaniami diofantycznymi o dwóch zmiennych (ax + by = c) oraz podkreśla różnice między równaniem liniowym o jednej zmiennej a nieokreślonym równaniem wielozmiennym. Nauczyciel matematyki przedstawia uczniom podstawowe metody rozwiązywania liniowych, niejednorodnych równań diofantycznych: z wykorzystaniem reguł dzielności, z wykorzystaniem rozszerzonego algorytmu Euklidesa w celu znalezienia rozwiązania szczególnego, a następnie zapisania wzorów na rozwiązanie ogólne, oraz metodą podstawiania Eulera. Omawia z uczniami warunek konieczny i wystarczający, aby takie równanie miało rozwiązania całkowitoliczbowe, liczbę rozwiązań całkowitoliczbowych oraz liczbę rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych (z ograniczeniami na zmienne wyrażonymi nierównościami liniowymi). Nauczyciel matematyki pokazuje również, jak rozwiązywać liniowe równania diofantyczne o więcej niż dwóch zmiennych. Przedstawia również uczniom problem monet Frobeniusa i jego uogólnienia. Bardziej zaawansowanym i dociekliwym uczniom nauczyciel matematyki może wyjaśnić związek między liniowymi równaniami diofantycznymi a kongruencjami, tj. w jaki sposób takie równanie można zapisać w postaci liniowej kongruencji. Nauczyciel matematyki może również wyjaśnić, w jaki sposób liniowe równania diofantyczne można zastosować do prostych problemów z zakresu kryptografii.

Następnie nauczyciel informatyki zapoznaje uczniów z metodami, które można wykorzystać do rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań diofantycznych w programie Excel. Nauczyciel chemii wyjaśnia uczniom, jak zbilansować równanie chemiczne wyrażające reakcję chemiczną, a wspólnie z nauczycielem matematyki wyjaśnia, jak zastosować liniowe niejednorodne równania diofantyczne do bilansowania równania chemicznego.

Nauczyciel fizyki (inżynierii) wprowadza uczniów w zagadnienia sieci i przepływów sieciowych. Opcjonalnie administracja szkoły może zaprosić inżyniera (sieciowego), aby przybliżył uczniom tematykę sieci oraz problemów związanych z przepływem w sieciach. Nauczyciel matematyki i nauczyciel fizyki wyjaśniają uczniom, w jaki sposób liniowe równania diofantyczne mogą zostać wykorzystane do modelowania przepływu w sieci. Nauczyciel przedsiębiorczości przedstawia uczniom problemy biznesowe, które można zamodelować za pomocą liniowych niejednorodnych równań diofantycznych. Uczniowie mogą rozwiązać otrzymane równania ręcznie, stosując metody z lekcji matematyki, lub w arkuszu kalkulacyjnym.

Prace nad tym tematem trwają 10 godzin.