PS29: Resolución de problemas con Diofanto - EN

El curso comienza con la teoría matemática de las ecuaciones diofánticas lineales. El profesor de matemáticas repasa la teoría básica de los números (de 5.º de primaria): las reglas de divisibilidad y el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor (mcd) de dos números enteros positivos. El profesor de matemáticas puede empezar a introducir el nuevo tema planteando a los alumnos un problema sencillo de la vida cotidiana que pueda modelarse mediante una ecuación diofántica lineal no homogénea de dos variables. El profesor guía a los alumnos en la creación del modelo y en la búsqueda de las soluciones a la ecuación obtenida. Los alumnos utilizan las reglas de divisibilidad para resolver la ecuación. A continuación, el profesor de matemáticas presenta a los alumnos el término “ecuación diofántica”, en concreto las ecuaciones diofánticas lineales de dos variables (ax + by = c), y subraya las diferencias entre una ecuación lineal de una variable y una ecuación multivariable indefinida. El profesor de matemáticas presenta a los alumnos los métodos básicos para resolver ecuaciones diofánticas lineales no homogéneas: mediante el uso de reglas de divisibilidad, mediante el algoritmo euclidiano ampliado para hallar una solución particular y, a continuación, escribir las fórmulas para la solución general, y mediante el método de sustitución de Euler. Analiza con los alumnos la condición necesaria y suficiente para que una ecuación de este tipo tenga soluciones enteras, el número de soluciones enteras y el número de soluciones en números naturales (restringidas a las variables expresadas mediante desigualdades lineales). El profesor de matemáticas muestra también cómo resolver una ecuación diofántica lineal de más de dos variables. Asimismo, presenta a los alumnos el problema de las monedas de Frobenius y sus generalizaciones. A los alumnos más avanzados y curiosos, el profesor de matemáticas puede explicar la relación entre las ecuaciones diofánticas lineales y las congruencias, es decir, cómo una ecuación de este tipo puede expresarse en forma de congruencia lineal. El profesor de matemáticas también puede explicar cómo las ecuaciones diofánticas lineales pueden aplicarse a problemas sencillos de criptografía.

A continuación, el profesor de informática presenta a los estudiantes los métodos que se pueden utilizar para resolver ecuaciones diofánticas lineales no homogéneas en Excel. El profesor de química explica a los estudiantes cómo ajustar una ecuación química que expresa una reacción química y, junto con el profesor de matemáticas, explica cómo aplicar ecuaciones diofánticas lineales no homogéneas para ajustar una ecuación química.

El profesor de física (ingeniería) introduce a los estudiantes en las redes y los flujos de red. Opcionalmente, la administración escolar puede invitar a un ingeniero (de redes) para presentar a los estudiantes las redes y los problemas relacionados con el flujo en redes. El profesor de matemáticas y el profesor de física explican a los estudiantes cómo se pueden utilizar las ecuaciones diofánticas lineales para modelar un flujo en una red. El profesor de emprendimiento plantea a los estudiantes problemas de negocios que pueden modelarse con ecuaciones diofánticas lineales no homogéneas. Los estudiantes pueden resolver las ecuaciones obtenidas ya sea a mano utilizando los métodos de las clases de matemáticas, o en un programa de hoja de cálculo.

El trabajo sobre el tema dura 10 horas.