PS29-Επίλυση Προβλημάτων με τον Διόφαντο-EL

Το μάθημα ξεκινά με τη μαθηματική θεωρία των γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων. Ο καθηγητής μαθηματικών υπενθυμίζει τη βασική θεωρία αριθμών (από την 5η τάξη) – τους κανόνες διαιρετότητας και τον ευκλείδειο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο θετικών ακεραίων. Ο καθηγητής μαθηματικών μπορεί να ξεκινήσει την εισαγωγή της νέας ύλης θέτοντας στους μαθητές ένα απλό πρόβλημα της καθημερινής ζωής, το οποίο μπορεί να μοντελοποιηθεί με μια γραμμική μη ομογενή διοφαντική εξίσωση δύο μεταβλητών. Ο καθηγητής καθοδηγεί τους μαθητές στη δημιουργία του μοντέλου και στον προσδιορισμό των λύσεων της εξίσωσης που προκύπτει. Οι μαθητές χρησιμοποιούν τους κανόνες διαιρετότητας για να λύσουν την εξίσωση. Στη συνέχεια, ο καθηγητής μαθηματικών εισάγει τους μαθητές στον όρο “Διοφαντική εξίσωση”, ειδικότερα στις γραμμικές Διοφαντικές εξισώσεις δύο μεταβλητών (ax + by = c) και υπογραμμίζει τις διαφορές μεταξύ μιας γραμμικής εξίσωσης μιας μεταβλητής και μιας ακαθόριστης εξίσωσης πολλών μεταβλητών. Ο καθηγητής μαθηματικών εισάγει τους μαθητές στις βασικές μεθόδους επίλυσης γραμμικών μη ομογενών διοφαντικών εξισώσεων: με τη χρήση κανόνων διαιρετότητας, με τη χρήση του εκτεταμένου ευκλείδειου αλγορίθμου για την εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης και στη συνέχεια τη διατύπωση των τύπων για τη γενική λύση, καθώς και με τη μέθοδο αντικατάστασης του Euler. Συζητά με τους μαθητές την απαραίτητη και επαρκή συνθήκη ώστε μια τέτοια εξίσωση να έχει ακέραιες λύσεις, τον αριθμό των ακέραιων λύσεων και τον αριθμό των λύσεων στους φυσικούς αριθμούς (υπό περιορισμούς στις μεταβλητές που εκφράζονται με γραμμικές ανισότητες). Ο καθηγητής μαθηματικών δείχνει επίσης πώς να επιλύει μια γραμμική διοφαντική εξίσωση με περισσότερες από δύο μεταβλητές. Ο καθηγητής μαθηματικών εισάγει επίσης τους μαθητές στο πρόβλημα των νομισμάτων του Φρόμπενιους και στις γενικεύσεις του. Για τους πιο προχωρημένους και περίεργους μαθητές, ο καθηγητής μαθηματικών μπορεί να εξηγήσει τη σχέση μεταξύ των γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων και των συγγενειών, δηλαδή πώς μια τέτοια εξίσωση μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή μιας γραμμικής συγγένειας. Ο καθηγητής μαθηματικών μπορεί επίσης να εξηγήσει πώς οι γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις μπορούν να εφαρμοστούν σε απλά προβλήματα κρυπτογραφίας.

Στη συνέχεια, ο καθηγητής Πληροφορικής παρουσιάζει στους μαθητές τις μεθόδους που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση γραμμικών μη ομογενών εξισώσεων Διόφαντου στο Excel. Ο καθηγητής Χημείας εξηγεί στους μαθητές πώς να εξισορροπούν μια χημική εξίσωση που εκφράζει μια χημική αντίδραση, και μαζί με τον καθηγητή Μαθηματικών εξηγούν πώς να εφαρμόζουν γραμμικές μη ομογενείς εξισώσεις Διόφαντου για την εξισορρόπηση μιας χημικής εξίσωσης.

Ο καθηγητής της φυσικής (μηχανικής) εισάγει τους μαθητές στα δίκτυα και στις ροές δικτύων. Προαιρετικά, η διοίκηση του σχολείου μπορεί να προσκαλέσει έναν μηχανικό (δικτύων) για να εισαγάγει τους μαθητές στα δίκτυα και σε προβλήματα που αφορούν τη ροή δικτύων. Ο καθηγητής των μαθητικών και ο καθηγητής της φυσικής εξηγούν στους μαθητές πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις για τη μοντελοποίηση μιας ροής σε ένα δίκτυο. Ο καθηγητής της επιχειρηματικότητας θέτει στους μαθητές επιχειρηματικά προβλήματα τα οποία μπορούν να μοντελοποιηθούν με γραμμικές μη ομογενείς διοφαντικές εξισώσεις. Οι μαθητές μπορούν να λύσουν τις εξισώσεις που προκύπτουν είτε με το χέρι χρησιμοποιώντας τις μεθόδους από τα μαθήματα των μαθηματικών, είτε σε λογισμικό υπολογιστικού φύλλου.

Η εργασία επί του θέματος διαρκεί 10 ώρες.